Математика і здоровий глузд

Багато людей впевнені, що математика не знадобиться їм після закінчення університету. Однак Джордан Елленберг спростовує це переконання. На його думку, математика допомагає скласти більш глибоке і достовірне уявлення про навколишній світ. «Математика вплетена в тканину нашого мислення, – впевнений автор. – Математика – це наука про те, як не робити помилок, а математичні форми й методи виковувалися протягом багатьох століть наполегливої праці й дискусій.»

Багато в чому математика – те ж саме, що і здоровий глузд. Якщо подивитися на деякі математичні закони і правила, то вони інтуїтивно зрозумілі. Наприклад, що додати шість до чотирьох – рівнозначно тому, щоб додати чотири до шести.

Зрозуміло, далеко не всі розділи математики настільки ж очевидні. Однак навіть диференціальне й інтегральне числення беруть свій початок зі здорового глузду, – переконаний Елленберг. Адже Ньютон не просто вигадав формули, а вивчив рух об’єкта по прямій лінії, описав його і формалізував.

Математика дозволяє у багато разів збільшити силу здорового глузду. «Незважаючи на всю силу математики, її абстрактність і символіку, що часом вселяє страх, справжня розумова робота, яка потрібна в ній, мало чим відрізняється від того, як ми розмірковуємо над вирішенням простих повсякденних завдань», – пише автор.

Сила лінійності

Ми стикаємось із лінійністю кожного дня. Кожного разу, коли ви стверджуєте: якщо добре мати щось, то краще мати цього ще більше, – ви мислите лінійно. І це відкриває дорогу для маніпуляцій і перекручувань. Наприклад, американські політики можуть говорити: «Якщо ви підтримуєте військові дії проти Ірану, то напевно вважали б за краще здійснити сухопутну операцію проти будь-якої країни, яка лише косо подивиться в наш бік!».

Лінійність мислення багато в чому підтримується математичними викладками. Скажімо, якщо намалювати правильний багатокутник з 65 536 сторонами, то виглядати він буде практично як коло. Площі цих фігур будуть майже однаковими. І хоча коло – це крива, кожен її фрагмент можна наблизити до ідеально прямої лінії (так само ми бачимо Землю пласкою, хоча знаємо, що її форма близька до кулі).

 

Кожного разу, коли ви стверджуєте: якщо добре мати щось, то краще мати цього ще більше, – ви мислите лінійно

Кожного разу, коли ви стверджуєте: якщо добре мати щось, то краще мати цього ще більше, – ви мислите лінійно

Лінійне мислення є для нас природним, тому що інтуїтивне сприйняття часу і руху формується у нас під впливом явищ, які ми спостерігаємо в навколишньому світі. Елленберг радить взяти на озброєння фразу: «локально пряма, глобально крива» – і періодично згадувати її, коли ви ловите себе на лінійному мисленні.

Автор наводить приклад статті, яку прочитав в журналі Obesity. Там було написано, що американці вживають занадто багато фаст-фуду і мало рухаються, тому до 2048 року всі поголовно будуть страждати від ожиріння. «Поспішаю вас порадувати, – пише Елленберг. – Не всі з нас 2048 року будуть страждати ожирінням. Чому? Тому що не всі лінії прямі.»

Зростання кількості людей з надмірною вагою – факт. Якщо на початку 1970-х трохи менше половини американців мали індекс маси тіла більше 25, то 20 років потому їх кількість зросла до 60%, а в 2008 році склала майже 75%. Але це зовсім не означає, що графік являє собою пряму лінію, – хоча саме таке припущення зробили автори статті. На думку Елленберга, вони зробили два злочини: проти математики і проти здорового глузду.

Якщо приклад лінійного мислення – це бажання звести складну закономірність до прямої лінії, то що таке нелінійне мислення? На думку Елленберга, воно означає наступне: який шлях обрати, залежить від того, де ви знаходитесь зараз.

Ймовірність під мікроскопом

Уявіть собі, що одного разу ви отримали лист від брокера, який натякає вам, що наступного тижня певні акції підскочать у ціні. Через деякий час приходить нова розсилка, в якій згадуються акції, які скоро подешевшають. Такі листи ви отримуєте 10 раз поспіль – і щоразу брокер має рацію. В 11-му листі він пропонує вам вкласти гроші у його інвестиційний фонд. Ви міркуєте: швидше за все, цей брокер є хорошим фахівцем у своїй справі, адже ймовірність вгадати 10 раз поспіль – мізерно мала (вона становить 1/1024). І вирішуєте ризикнути своїми заощадженнями, розраховуючи на великий прибуток.

А тепер уявіть, що брокер розіслав першого тижня 10240 листів, половина з яких була з прогнозом про те, що курс акцій зросте, а половина – що він знизиться. 5120 адресатів, які отримали невірний прогноз, більше не отримували листів від брокера. А ті 5120, що залишилися, були розділені на дві групи: одній на другому тижні прийшов лист про те, що курс акцій знизиться, а другій – що він підвищиться.

 

Математика дозволяє у багато разів збільшити силу здорового глузду

Математика дозволяє у багато разів збільшити силу здорового глузду

Після цього тижня залишилося вже 2560 людей, які отримали два правильних прогнози поспіль. Цей процес тривав знову і знову, і після десятого тижня було 10 осіб, які весь цей час отримували правильні прогнози. Якщо вони погодяться на пропозицію брокера, то він зможе непогано заробити – і при цьому абсолютно не має значення, чи розуміє він хоч щось про гру на біржі.

Хоча ця так звана «притча про балтиморського брокера» є вигаданою, вона показує пастку, в яку ми часто ризикуємо потрапити. Наприклад, коли ви інвестуєте свої гроші у фонд з неймовірно високою рентабельністю, ви можете потрапити приблизно в таку ж ситуацію, як гіпотетичний одержувач розсилки від балтиморського брокера. «Ви потрапили під вплив вражаючих результатів, але ж вам невідомо, які шанси на отримання цих результатів були у цього брокера», – пише автор.

Як і багато хороших фокусів, ця афера не є прямим обманом. По суті, вам надають достовірну інформацію, але дозволяють зробити з неї невірні висновки.

Епоха великих даних

У магазині Target в Міннесоті сталася історія, яка свідчить про настання «епохи великих даних». Статистична модель, яку використовували для маркетингового аналізу, дійшла  висновку, що дівчинка-підліток вагітна. День у день вивчаючи покупки споживачів, бездушна машина змогла зробити правильний висновок – і почала надсилати дівчині купони на товари для новонароджених, чим дуже здивувала її батьків.

Багатьох лякає думка про те, що машини скоро стануть робити більш точні висновки, ніж люди. Однак, на думку автора, боятися варто швидше поганих алгоритмів, ніж ефективних. Уявімо, що Facebook вирішить скласти список потенційних терористів, аналізуючи сторінки людей, які вже були засуджені за тероризм або підтримували екстремістські організації. Автор розглядає два запитання, які можуть цікавити творця подібного списку.

Запитання 1: наскільки ймовірно, що людина потрапить до списку Facebook, за умови, що вона не терорист?

Запитання 2: наскільки ймовірно, що людина не терорист, за умови, що вона входить до списку Facebook?

 

Тримати під напругою всі свої переконання: соціальні, політичні, наукові й філософські, – це хороша звичка

Тримати під напругою всі свої переконання: соціальні, політичні, наукові й філософські, – це хороша звичка

Ці запитання відрізняються одне від одного, хоча на перший погляд і здаються однаковими. Відповідь на перше запитання – близько 1 з 2000, а на другий – 99,99%. І хоча значущою є саме відповідь на друге запитання, часто їх плутають, і це є великою небезпекою.

Елленберг наводить у якості прикладу судове засідання. Прокурор може заявити: «Є один шанс з п’яти мільйонів, що ДНК невинної людини співпаде з ДНК, виявленою на місці злочину». Це – відповідь на перше запитання. Однак завдання присяжних – відповісти на друге: «Яка ймовірність, що на перший погляд винний підсудний – невинний?».

Ця проблема може здаватися далекою від повсякденної реальності, але автор пише, що в США Агентство національної безпеки вже збирає інформацію – чи є жителі користувачами Facebook, а також метадані про всі телефонні дзвінки. Швидше за все, списки потенційних терористів вже існують. «Мало приємного в тому, що Target знає про вашу вагітність, – пише Елленберг. – Але набагато гірше, якщо ви не терорист, але Facebook вважає вас таким.»

Невизначеність і правота

У студентські роки Елленбергу запропонували роботу: дослідник зі сфери охорони здоров’я попросив його оцінити, скільки людей захворіє на туберкульоз у 2050 році. Йому надали масу даних про цю недугу, а завданням математика було скласти модель, за допомогою якої можна прогнозувати поширення хвороби на десятиліття вперед.

Через деякий час Елленберг прийшов до висновку, що він має справу з дуже великим ступенем невизначеності, а значить, не може дати навіть приблизну оцінку. Проте, саме цього вимагав замовник, і в підсумку автору довелося поступитися. «Не сумніваюся, що згодом він розповідав багатьом про те, що в 2050 році Х мільйонів людей будуть страждати на туберкульоз, – пише Елленберг. – Готовий побитися об заклад: якщо хтось запитав би цього дослідника, звідки він про це знає, він сказав би: «Я найняв фахівця в галузі математики».

З цієї історії зовсім не випливає, що автор рекомендує уникати відповідей на складні запитання, щоб завжди залишатися правим. Однак він вважає, що невпевненість – це якість сильної людини, а не слабака.

 

Математика дає нам можливість демонструвати принципову невпевненість: говорити не просто «я не знаю», а «я в цьому не впевнений, ось чому і ось приблизно наскільки»

Математика дає нам можливість демонструвати принципову невпевненість: говорити не просто «я не знаю», а «я в цьому не впевнений, ось чому і ось приблизно наскільки»

З одного боку, математика – це точна наука, яка сприймається багатьма як спосіб встановлення істини. Але, з іншого, вона є інструментарієм, який дозволяє міркувати про невизначеність і, часом, «приручати» її. «Математика дає нам можливість демонструвати принципову невпевненість», – пише Елленберг. – Тобто займати тверду позицію і говорити не просто «я не знаю», а «я в цьому не впевнений, ось чому і ось приблизно наскільки».

Протиріччя в цілях

Принципи логіки говорять про те, що якщо додати невелике протиріччя в будь-який елемент формальної системи, то вся вона зруйнується. Автор ілюструє це простим прикладом з серіалу «Зоряний шлях». Капітан Кірк вирішив поставити андроїдів у парадоксальну ситуацію, і це призвело до того, що вони вийшли з ладу (перед цим сумно зітхнувши «Але ж це нелогічно!»). Цей принцип математики використовують в доведенні від супротивного: потрібно тримати в голові гіпотезу, яку ви вважаєте помилковою, і міркувати так, ніби вона істинна.

Елленберг згадує, як керівник докторської дисертації дав йому пораду: коли ви наполегливо намагаєтеся довести теорему, вам слід доводити її вдень і спростовувати вночі. Навіщо людині можуть знадобитися дві цілі, що суперечать одна одній? По-перше, ви можете помилятися: гіпотеза, яку ви вважаєте істинною, насправді помилкова. І якщо крім доведення теореми ви намагаєтеся її спростувати, то ви застраховуєте себе від повної поразки.

По-друге, якщо твердження, яке ви намагаєтеся спростувати, істинне, то з кожною новою спробою ви все краще розумієте, що заважає вам його спростувати, все краще проникаєте в сутність речей. Математики саме так і виходять на доведення теореми. У цьому випадку невдача не є чимось поганим. Навпаки – вона розширює наші кордони.

На думку автора, принцип «доводити вдень і спростовувати вночі» можна застосувати не тільки до математики. «На мій погляд, тримати під напругою всі свої переконання: соціальні, політичні, наукові й філософські, – це хороша звичка, – пише Елленберг. – Вірте в те, у що ви вірите, вдень, але вночі шукайте докази проти найцінніших для вас припущень.»

Якщо якісь з ваших переконань помилкові, то з часом ви їх спростуєте – і тим самим наблизитесь до істини. А якщо переконати себе не вдасться, то ви зможете набагато краще зрозуміти, чому ви вірите в те, у що вірите.

Повну версію рецензії можна прочитати на сайті Digest